Độ dài đường tròn (chu vi hình tròn)

Tỉ số của độ dài đường tròn với đường kính của nó là π (pi), một hằng số vô tỉ có giá trị xấp xỉ bằng 3.141592654, vậy chu vi của hình tròn (còn được gọi là viên chu), là độ dài của đường tròn, bằng tích của pi với đường kính hoặc 2 lần pi nhân với bán kính. Công thức:

C = 2 π r = π d . {\displaystyle C=2\pi r=\pi d.\,}

Diện tích bao kín

Trong bản luận Sự đo đạc của một hình tròn của Archimedes, diện tích hình tròn A bằng diện tích của tam giác có cạnh đáy bằng chu vi đường tròn và đường cao bằng bán kính hình tròn,[6] tức A bằng π nhân cho bình phương bán kính:

A = π r 2 . {\displaystyle \mathrm {A} =\pi r^{2}.\,}

Tương tự, ký hiệu đường kính là d,

A = π d 2 4 ≈ 0 . 7854 d 2 , {\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2},}

tức khoảng 79% diện tích hình vuông ngoại tiếp đường tròn (với độ dài cạnh là d). Đường tròn cũng là hình phẳng bao kín nhiều diện tích nhất với chu vi cho trước.

Phương trình

Hệ tọa độ Descartes

Đường tròn có bán kính r = 1, tâm (a, b) = (1.2, −0.5)

Trong hệ tọa độ Descartes, vòng tròn có tâm tại (a, b) và bán kính r là tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn:

( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 . {\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}.}

Phương trình này, được biết là Phương trình đường tròn, xuất phát từ Định lý Pytago áp dụng cho một điểm trên đường tròn: Như trong hình bên, bán kính là cạnh huyền của một tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông |x − a| và |y − b|. Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ (0, 0), thì phương trình được thu gọn thành:

x 2 + y 2 = r 2 .   {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.\!\ }

Phương trình có thể viết dưới dạng tham số sử dụng các hàm lượng giác sin và cosine như sau

x = a + r cos ⁡ t , {\displaystyle x=a+r\,\cos t,\,} y = b + r sin ⁡ t {\displaystyle y=b+r\,\sin t\,}

với t là tham số trong khoảng từ 0 đến 2π, một cách hình học, t tương đương với góc tạo bởi tia đi qua (a, b), (x, y) và trục x dương.

Một phương trình tham số khác của đường tròn là:

x = a + r 1 − t 2 1 + t 2 . {\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\,} y = b + r 2 t 1 + t 2 {\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\,}

Tuy nhiên ở sự tham số hóa này, t không chỉ chạy qua tất cả số thực mà còn chạy tới vô hạn, nếu không thì điểm dưới cùng của đường tròn sẽ không được thể hiện.

Trong hệ tọa độ đồng nhất, mỗi đường conic với phương trình của đường tròn có dạng:

x 2 + y 2 − 2 a x z − 2 b y z + c z 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.\,}

Hệ tọa độ cực

Trong hệ tọa độ cực phương trình của một đường tròn là:

r 2 − 2 r r 0 cos ⁡ ( θ − ϕ ) + r 0 2 = a 2 {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,}

với a là bán kính của đường tròn, ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} là tọa độ cực của một điểm trên đường tròn, và ( r 0 , ϕ ) {\displaystyle (r_{0},\phi )} là tọa độ cực của tâm đường tròn (tức r0 là khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm, và φ góc ngược chiều kim đồng hồ từ trục hoành đường thẳng đi qua tâm và gốc tọa độ). Với đường tròn có tâm ở gốc tọa độ, tức r0 = 0, thì được đơn giản hóa còn r = a. Khi r0 = a, hay gốc tọa độ nằm trên đường tròn thì phương trình trở thành:

r = 2 a cos ⁡ ( θ − ϕ ) . {\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).\,}

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình cho r

r = r 0 cos ⁡ ( θ − ϕ ) ± a 2 − r 0 2 sin 2 ⁡ ( θ − ϕ ) , {\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}},}

Chú ý rằng nếu không có dấu ±, trong một số trường hợp phương trình chỉ mô tả nửa đường tròn.

Mặt phẳng phức

Trong mặt phẳng phức, một đường tròn có tâm tại c và bán kính (r) có phương trình | z − c | = r {\displaystyle |z-c|=r\,} . Ở dạng tham số hóa: z = r e i t + c {\displaystyle z=re^{it}+c} .

Phương trình tổng quát p z z ¯ + g z + g z ¯ = q {\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q} cho các số thực p, q và số phức g đôi khi được gọi là đường tròn tổng quát. Phương trình này trở thành phương trình ở trên với p = 1 ,   g = − c ¯ ,   q = r 2 − | c | 2 {\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}} , vì | z − c | 2 = z z ¯ − c ¯ z − c z ¯ + c c ¯ {\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}} . Không phải đường tròn tổng quát nào cũng là đường tròn thực sự: đường tròn tổng quát hoặc là đường tròn thực sự hoặc là một đường thẳng.

Đường tiếp tuyến

Đường tiếp tuyến qua một điểm P trên đường tròn vuông góc đường kính đi qua P. Nếu P = (x1, y1) và đường tròn có tâm (a, b) và bán kính r, thì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua (a, b) và (x1, y1), nên nó có dạng (x1 − a)x + (y1 – b)y = c. Tính với (x1, y1) xác định giá trị của c và kết quả phương trình của đường tiếp tuyến là:

( x 1 − a ) x + ( y 1 − b ) y = ( x 1 − a ) x 1 + ( y 1 − b ) y 1 {\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1}\,}

hay

( x 1 − a ) ( x − a ) + ( y 1 − b ) ( y − b ) = r 2 .   {\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.\!\ }

Nếu y1 ≠ b thì độ dốc của đường thẳng là

d y d x = − x 1 − a y 1 − b . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}

Kết quả này cũng có thể được suy ra sử dụng đạo hàm hàm ẩn.

Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ thì phương trình tiếp tuyến là x 1 x + y 1 y = r 2 ,   {\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\!\ } và độ dốc của nó là d y d x = − x 1 y 1 . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}